Toán học 
Vật lý 
Hóa học 
Ngữ văn 
Lịch sử 
Địa lí 
Tiếng Anh 
Sinh học 
GDCD 
Công nghệ 
Tin học 
Lớp 12
Lớp 11
Lớp 10
Lớp 9
Lớp 8
Lớp 7
Lớp 6
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trang chủĐề bài
Cho hàm số \(y = \cos 2x\)
a) Chứng minh rằng: \(\cos 2(x + k π) = \cos 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \cos2x\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x = {\pi \over 3}\)
c) Tìm tập xác định của hàm số \(z = \sqrt {{{1 – \cos 2x} \over {1 + {{\cos }^2}2x}}} \)
Phương pháp giải – Xem chi tiết
a) Sử dụng chu kì tuần hoàn của hàm số cos
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x=x_0\) là: \(y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)\)
c) Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\), sử dụng tính chất \(\cos \alpha \in \left[ { – 1;1} \right]\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\cos 2(x + k π) = \cos (2x + k2 π) = \cos 2x\).
_ Từ kết quả trên ta suy ra hàm số \(y = cos 2x\) là hàm số tuần hoàn có chu kì là \(π\).
_ Do đó, ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số \(y = cos2x\) trên \([0, π]\) và tịnh tiến nó song song với trục \(0x\) các đoạn có độ dài là \(π\).
Bảng giá trị đặc biệt
|
\(x\) |
\(0\) |
\({\pi \over 4}\) | \({\pi \over 2}\) |
\({{3\pi } \over 4}\) |
\(π\) |
|
\(\cos 2x\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
Đồ thị hàm số:
b) Ta có: \({x_0} = {\pi \over 3} \Rightarrow {y_0} = \cos {{2\pi } \over 3} = – {1 \over 2}\)
Ta lại có:
\(\eqalign{
& f'(x) = – 2\sin 2x \cr
& \Rightarrow f'({\pi \over 3}) = – 2\sin {{2\pi } \over 3} = – \sqrt 3 \cr} \)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y + {1 \over 2} = – \sqrt 3 (x – {\pi \over 3}) \Leftrightarrow y = – \sqrt 3 x + {{\pi \sqrt 3 } \over 3} – {1 \over 2}\)
c) Ta có:
\(|cos 2x| ≤ 1\) nên \(1 – cos 2x ≥ 0,∀ x ∈ \mathbb R\).
\( \Rightarrow \dfrac{{1 – \cos 2x}}{{1 + {{\cos }^2}2x}} \ge 0\,\,\forall x \in R\)
Do đó, tập xác định của hàm số \(z\) là \(\mathbb R\).